Question

甲、乙兩企業，2000年的銷售量均為p（2000年為第一年），根據市場分析和預測，甲企業前n年的總銷量為

p

2

（n²-n+2），乙企業第n年的銷售量比前一年的銷售量多

p

2n-1

．
（1）求甲、乙兩企業第n年的銷售量的表達式；
（2）根據甲、乙兩企業所在地的市場規律，如果某企業的年的銷售量不足另一企業的年銷售量的20%，則該企業將被另一企業收購，試判斷，哪一企業將被收購？這個情形將在那一年出現？是說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=

p

2

（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表達式；n≥2時，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表達式；
（2）利用（1）中a_n，b_n的表達式，代入求解，分類計算可得，某企業的年的銷售量不足另一企業的年銷售量的20%，一企業將被另一企業收購．

解答：解：設甲企業前n年的總銷量為S_n，第n年的銷量為a_n，乙企業第n年的銷售量b_n，根據題意，得S_n=

p

2

（n²-n+2），b_n=

p

2n-1

（n≥2）
a₁=S₂-S₁=p，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=p（n-1）
故a_n=

p，n=1 p(n-1)，n≥2

，
∵b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1），
∴b_n=p+

p

2

+…+

p

2n-1

=（2-

1

2n-1

）p．
（2）∵a_n≥p，b_n≥p，∴a_n＞

1

2

b_n＞

1

5

b_n，
故甲企業不可能被乙企業收購，
當n=1時，a₁=b₁=p，乙企業不可能被甲企業收購，
當n≥2時，
∴

1

5

a_n＞b_n?

1

5

p(n-1)＞(2-

1

2n-1

)p，
∴n＞11-

5

2n-1

，
則當n=2，3時，經驗證n＜11-

5

2n-1

，
當4≤n≤10時，有11-

5

2n-1

＞10，
∴n＜11-

5

2n-1

當n≥11時，11-

5

2n-1

＜11，所以必有n＞11-

5

2n-1

，
故當n=11時，即2010乙企業可能被甲企業收購．

點評：本題考查數列的通項，考查疊加法，考查利用數列知識解決實際問題，確定數列的通項是關鍵．