Question

設函數f（x）=2x-cos4x，{a_n}是公差為

π

8

的等差數列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=11π，則[f(a2)]2-a1a5=（　　）

• A．0
• B．

  1

  8

  π2
• C．

  3

  8

  π2
• D．

  13

  16

  π2

Answer 1

分析：先設數列{a_n}的首項為a₁，則根據條件可得，2（a₁+a₂+…+a₈）=11π，利用等差數列的求和公式可求得首項a₁從而得出a₂，a₅，最后即可求出[f(a2)]2-a1a5的值．

解答：解：設數列{a_n}的首項為a₁，則根據f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=11π，得
2a₁-cos4a₁+2a₂-cos4a₂+…+2a₈-cos4a₈=11π
∴2a₁+2a₂+…+2a₈=11π，即2（8a₁+

8×7

2

×

π

8

）=11π，
∴a₁=

π

4

，
∴a₂=

3π

8

，a₅=

π

4

+4×

π

8

=

3π

4

，
則[f(a2)]2-a1a5=[2×

3π

8

-cos（4×

3π

8

）]²-

π

4

×

3π

4

=

3

8

π2．
故選C．

點評：利用方程思想解決等差數列的問題，正確的列方程或列方程組是解決問題的關鍵，方程思想是高中數學比較重要的四大思想之一．