Question

如圖所示,設拋物線方程為x²=2py (p＞0),M為直線y=-2p上任意一點,過M 

引拋物線的切線,切點分別為A,B.

(1)求證:A,M,B三點的橫坐標成等差數列；

(2)已知當M點的坐標為(2,-2p)時,|AB|=4.求此時拋物線的方程.

Answer 1

（1）證明略（2）拋物線方程為x²=2y或x²=4y.     

解析:

(1)證明  由題意設A,B,x₁＜x₂,

M.

由x²=2py得y=,則y′=,

所以k_MA=,k_MB=.                                                                                 2分

因此,直線MA的方程為y+2p=(x-x₀),

直線MB的方程為y+2p=(x-x₀).

所以,+2 p = (x₁-x₀),                                                                 ①

+2 p =(x₂-x₀).                                                                          ②           5分

由①、②得=，

因此，x₀=，即2x₀=.

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列.                                                               8分

（2）解  由（1）知，當x₀=2時，

將其代入①、②，并整理得：

x-4x₁-4p²=0，x-4x₂-4 p ²=0，

所以，x₁、x₂是方程x²-4x-4 p ²=0的兩根，                                                             10分

因此，x₁+x₂=4，x₁x₂=-4 p ²，

又k_AB===，

所以k_AB=.                                                                                                    12分

由弦長公式得

|AB|=

=.

又|AB|=4，所以p=1或p=2，

因此所求拋物線方程為x²=2y或x²=4y.                                                                    16分