Question

如圖所示，拋物線y²=4x的頂點為O，點A的坐標為（5，0），傾斜角為

π

4

的直線l與線段OA相交（不經過點O或點A）且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積 最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積

8

2

．

Answer 1

分析：由題意，可設l的方程為y=x+m，其中-5＜m＜0，與拋物線的方程聯立可得△＞0即根與系數的關系，再利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到三角形的面積，再利用基本不等式即可得出其最大值．

解答：解：由題意，可設l的方程為y=x+m，其中-5＜m＜0，
由方程組

y=x+m y2=4x

，消去y，得x²+（2m-4）x+m²=0，①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，
∴方程①的判別式△=（2m-4）²-4m²=16（1-m）＞0，解得m＜1，又-5＜m＜0，
∴m的范圍為（-5，0），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=4-2m，x1?x2=m2，
∴|MN|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4-2m)2-4m2]

=4

2(1-m)

，點A到直線的距離為d=

5+m

2

．
∴S△=2(5+m)

1-m

，
從而

S

2 △

=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)?(5+m)(5+m)≤2(

2-2m+5+m+5+m

3

)3=128，
∴S△≤8

2

，當且僅當2-2m=5+m，即m=-1時取等號．
故直線l的方程為y=x-1，△AMN的最大面積為8

2

．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得△＞0即根與系數的關系、弦長公式和點到直線的距離公式、三角形的面積、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．