Question

已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然對數的底數，a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設a=-1，，求證：當x∈（0，e]時，恒成立；
（3）是否存在負數a，使得當x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．
理科選修．

Answer 1

【答案】分析：（1）設x∈[-e，0），則-x∈（0，e]，從而可得f（-x）=-ax+ln（-x），結合f（x）為奇函數，可求f（x），x∈[-e，0）
（2）由a=-1時，可得f（x）=，g（x）=，而x∈（0，e]時，f（x）=-x+lnx
=，結合導數可得f（x）_max=f（1）=-1，，結合導數可得g（x）_min=g（e）=，要證明當x∈（0，e]時，恒成立，即證f（x）_max即可
（3）假設存在負數a滿足條件，由（1）可得，x∈（0，e]，f（x）=ax+lnx，，令f′（x）＞0可得，f′（x）＜0可得 ，要判斷函數的單調區間，需要比較e與的大小，故需要討論：①，②兩種情況分別求解函數的最大值，進而可求a
解答：解：（1）當x∈[-e，0）時可得，-x∈（0，e]
∵x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx
f（-x）=-ax+ln（-x）
∵函數f（x）為奇函數可得f（-x）=-f（x）
-f（x）=-ax+ln（-x）
f（x）=ax-ln（-x）
f（x）=
證明：（2）a=-1時，f（x）=，g（x）=，
x∈（0，e]時，f（x）=-x+lnx
=
令f′（x）＞0可得0＜x＜1，f′（x）＜0可得1＜x≤e
函數f（x）在（0，1]單調遞增，在（1，e]單調遞減
f（x）_max=f（1）=-1
，由x∈（0，e]可得g′（x）≤0
g（x）在（0，e]上單調遞減
g（x）_min=g（e）=
-1＜
即f（x）_max
當x∈（0，e]時，恒成立；
解：（3）假設存在負數a滿足條件
由（1）可得，x∈（0，e]，f（x）=ax+lnx，
令f′（x）＞0可得，f′（x）＜0可得
①若，即，則函數在（0，-]上單調遞增，在（-，e]上單調遞減
=
∴
②若 即，則函數在（0，e]單調遞增，則f（x）_max=f（e）=ae+1=-3
∴（舍）
故
點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性求解函數的解析式，及利用函數的導數判斷函數的單調性，求解函數的最值，利用單調性證明不等式，解題的關鍵是熟練應用函數的性質．是綜合性較強的試題．