Question

甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標的概率為,乙每次擊中目標的概率為.

(1)記甲擊中目標的次數為ξ,求ξ的概率分布及數學期望Eξ;

(2)求乙至多擊中目標2次的概率;

(3)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.

Answer 1

剖析:(1)甲射擊有擊中目標與擊不中目標兩個結果,且3次射擊是3次獨立重復試驗.∴ξ—B(3,).(2)“乙至多擊中目標2次”的對立事件是“乙擊中目標3次”.(3)“甲恰好比乙多擊中目標2次”即“甲擊中2次乙沒擊中目標或甲擊中目標3次乙擊中1次”.

解:(1)P(ξ=0)=C⁰₃()³=;

    P(ξ=1)=C¹₃()³=;

    P(ξ=2)=C²₃()³=;

    P(ξ=3)=C³₃()³=.

    ξ的概率分布如下表:

ξ	0	1	2	3
P

    ∵ξ—B(3,),

    ∴Eξ=3×=1.5.

    (2)乙至多擊中目標2次的概率為1-C³₃()³=.

    (3)設甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標0次為事件B₁,甲恰好擊中目標3次且乙恰好擊中目標1次為事件B₂,則A=B₁+B₂,B₁、B₂為互斥事件,∴P(A)=P(B₁)+P(B₂)=×+×=.

    ∴甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為.

講評:求離散型隨機變量的概率分布的步驟為:(1)找出隨機變量ξ的所有可能的值x_i(i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x_i)=p_i;(3)列成表格.