Question

甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，乙每次擊中目標(biāo)的概率

2

3

，
（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意看出變量的可能取值，根據(jù)變量對應(yīng)的事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式，寫出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列，做出期望值．
（Ⅱ）甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次，包括甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次，甲恰擊中目標(biāo) 3次且乙恰擊中目標(biāo) 1次，這兩種情況是互斥的，根據(jù)公式公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知X的可能取值是0，1，2，3
P（X=0）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，P（X=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，P（X=3）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
X的概率分布如下表：

X	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

EX=0•

1

8

+1•

3

8

+2•

3

8

+3•

1

8

=1.5，
（或EX=3•

1

2

=1.5）；
（Ⅱ）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，
甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B₁，甲恰擊中目標(biāo) 3次且乙恰擊中目標(biāo) 1次為事件B₂，
則A=B₁+B₂，B₁，B₂為互斥事件．                            
P(A)=P(B1)+P(B2)=

3

8

•

1

27

+

1

8

•

2

9

=

1

24

∴甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為

1

24

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一個基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是看清題目事件的特點，找出解題的規(guī)律，遇到類似的題目要求能做．