Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M.
（1）求證：平面ABM平面PCD;
（2）求三棱錐M-ABD的體積.

Answer 1

（1）見解析（2）

解析試題分析：（1）由PA⊥平面ABCD知，PA⊥AB，由ABCD為矩形知，AB⊥AD，由線面垂直判定定理知，AB⊥PAD，所以PB⊥AB，由以BD為直徑的球與PB的交點為M知，BM⊥DM，由線面垂直判定知PD⊥面ABM，由面面垂直判定定理知面PCD⊥面ABM；（2）由（1）知，PD⊥面ABM，所以PD⊥AM，因為PA=AD=4，所以M是PD的中點，取AD的中點為N，則NM平行PA，因為PA⊥平面ABCD，所以MN⊥ABCD，MN==2，即MN是三棱錐M-ABD的高，用棱錐的體積公式即可求出其體積.
試題解析：（1）   
又      
由題意得,

又              6分
（2）由（1）知，PD⊥面ABM，所以PD⊥AM，
因為PA=AD=4，所以M是PD的中點，
取AD的中點為N，則NM平行PA，
因為PA⊥平面ABCD，所以MN⊥ABCD，MN==2，
所以===.  12分
考點:球的性質，線面垂直的判定與性質，面面垂直判定定理，棱錐的體積公式，邏輯推論證能力.