Question

已知曲線：.

（Ⅰ）當時，求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）設斜率為的兩條直線與曲線相切于兩點，求證：中點在曲線上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線的方程為：，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時,先求導，通過斜率為1得到切點.然后利用點斜式得到所求切線方程；（Ⅱ）先將兩點的坐標設出，其中縱坐標用相應點的橫坐標表示.再由導數的幾何意義，得到兩點橫坐標滿足.從而得到中點，又中點在曲線上 ，顯然成立．得證；（Ⅲ）由中點在直線，又在曲線，從而得，再反代如直線與曲線聯立得方程，得到兩點的坐標，代入導函數中得到斜率，從而得到.

試題解析：（Ⅰ）當時，，

 設切點為，由，切點為

故為所求．                 (4分)

（Ⅱ），設，

由導數的幾何意義有

 

中點，即，

又中點在曲線上 ，顯然成立．得證．      (8分)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，中點的橫坐標為，且在上，，

又在曲線上，，

所以．

由，

 

由于，

故．

綜上，為所求．                                   (13分)

考點：1.導數的幾何意義；2.直線的方程；3.直線與曲線的位置關系.