Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于點O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中點．求證：
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質，可得到O是BD的中點，在△PBD中利用中位線定理，得到EO∥PD，結合線面平行的判定定理，可證出EO∥平面PCD；
（2）根據PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，結合菱形ABCD中AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，結合面面垂直的判定定理，可證出平面PBO⊥平面PAC．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中點，
又∵E是PB的中點，∴EO是△PBD的中位線，可得EO∥PD．     …（2分）
∵EO?平面PCD，PD?平面PCD，
∴EO∥平面PCD．         …（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，…（8分）
又∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
∵PA∩AC=A，PA、AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…（12分）
又∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．…（14分）

點評：本題給出一個特殊四棱錐，叫我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了空間線面垂直的判定與性質和線面平行的判定定理等知識，屬于基礎題．