Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，側棱PD⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，底面ABCD是菱形，
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）取CD中點E，連接ME，NE，結合已知條件，由三角形中位線定理可得ME∥AD，NE∥PD，由面面平行的判定定理易判斷出平面MNE∥平面PAD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PAD；
（2）由已知中底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD，結合正方形的性質及線面垂直的性質，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；

解答：證明：（1）取CD中點E，連接ME，NE，
由已知M，N分別是AB，PC的中點，
∴ME∥AD，NE∥PD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PAD，
所以，MN∥平面PAD
（2）ABCD為菱形，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間線面關系的判定定理是解答的關鍵．