Question

如圖1，在邊長為4cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于點B，構成一個三棱錐（如圖2）．
（1）判別MN與平面AEF的位置關系，并給予證明；
（2）證明：平面ABE⊥平面BEF；
（3）求多面體E-AFNM的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線線平行，即MN∥AF，利用線面平行的判定證明線面平行；
（2）利用線面垂直，證明面面垂直；
（3）利用體積比，即可求多面體E-AFNM的體積．
解答：（1）解：MN∥平面AEF…（1分）
證明如下：因翻折后B、C、D重合，∴MN是△ABF的一條中位線，…（3分）
∴MN∥AF
又∵MN?平面AEF，AF?平面AEF
∴MN∥平面AEF．…（6分）
（2）證明：∵AB⊥BE，AB⊥BF，且BE∩BF=B
∴AB⊥平面BEF，…（8分）
而AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF…（9分）
（3）解：∵AB=4，BE=BF=2，∴，…（11分）
又…（13分）
∴V_E-AFMN=2．…（14分）．
點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查多面體體積的計算，掌握線面平行，面面垂直的判定方法是關鍵．