Question

【題目】設函數f（x）=﹣ x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0．
（1）當m=1時，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率；
（2）求函數的單調區間與極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1時，f（x）=﹣ x3+x2，f′（x）=﹣x2+2x，故f′（1）=1．

所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1

（2）解：f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1．

令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．

因為m＞0，所以1+m＞1﹣m．

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，1﹣m）	1﹣m	（1﹣m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

所以f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1﹣m，1+m）內是增函數．

函數的極小值為：f（1﹣m）=﹣ m3+m2﹣ ；

函數的極大值為：f（1+m）=

【解析】（1）由已知中函數f（x）=﹣ x3+x2+（m2﹣1）x，根據m=1，我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案．（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區間，分別在每個區間上討論導函數的符號，即可得到函數的單調區間．
【考點精析】通過靈活運用基本求導法則和利用導數研究函數的單調性，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．