Question

已知一條直線與一個平面平行,求證:經過這個平面內的一點與這條直線平行的直線必在這個平面內.

已知:直線a∥平面α,點A∈α,點A∈直線b,并且a∥b.

求證:bα.

Answer 1

證明:(反證法)

假設bα,

∵A∈α,A∈b,∴b和α相交.

∵a∥α,A∈α,∴A?a.

∴點A和直線a確定一個平面,設為β,

即A∈β,aβ.

在β內,過A作直線b′,使a∥b′.

∵a∥b,∴b∥b′.

∵bα,b′α,A∈b,A∈b′,

∴b∩b′=A.

這與b∥b′矛盾.

∴bα不成立.∴bα.

小結:此題的結論是直線在平面內的一種判定方法.反證法的基本思想是假設結論的反面成立,經過合理的推導、論證會導出一個矛盾問題.這個矛盾可能是與已知條件、概念、定理、公理矛盾或自相矛盾.矛盾原因是由假設造成的,說明假設錯,則原結論成立.有時結論的反面不僅一種情況,需要一一駁倒,才能說明原結論成立.一般用來證明正面難以入手的題目.