Question

已知函數．
（I）若f（x）在處取和極值，
①求a、b的值；
②存在，使得不等式f（x₀）﹣c≤0成立，求c的最小值；
（II）當b=a時，若f（x）在（0，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍．
（參考數據e^2_≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

 解：（Ⅰ）①∵，定義域為（0，+∞）
∴
∵f（x）在處取得極值，
∴即，
所以所求a，b值均為
②在存在x₀，使得不等式f（x₀）﹣c≤0成立，則只需c≥[f（x）]_min
由
∴當時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈[1，2]時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
∴f（x）在處有極小值而
又，
因，
∴，
∴，
故 ．
（Ⅱ）當 a=b 時，
①當a=0時，f（x）=lnx，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，
∴f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a＜0時，設g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，從而得，
此時f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
綜上可得，