Question

已知函數．
（I）若f（x）為奇函數，求a的值；
（III）當a=5時，函數f（x）的圖象是否存在對稱中心，若存在，求其對稱中心；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，求出f（x）的定義域可得0在其定義域上，由奇函數的性質f（0）=0可得=0，解可得a的值，
（Ⅱ）由題意可得，a=5時，f（x）的解析式，可以假設f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心的坐標為（h，k），由其對稱性可得對于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，將解析式代入，變形整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，分析可得，解可得h、k的值，即可得f（x）的對稱性與其對稱中心的坐標．
解答：解：（Ⅰ）函數，有1+2^x＞1恒成立，
則f（x）的定義域為R，
又由函數f（x）為奇函數，可得f（0）=0，
則f（0）==0，解可得a=1，
此時f（x）=；
（Ⅱ）當a=5時，f（x）==5-，
假設f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心的坐標為（h，k），
則對于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
10-6（+）=2k恒成立，
整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，
于是有，解可得h=0，k=2，
故當a=5時，函數f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心為（0，2）．
點評：本題考查函數的對稱性與奇偶性的應用，（Ⅰ）中可以利用當0在函數的定義域上時，奇函數中必有f（0）=0的性質來解題，不必運用f（-x）=f（x）來分析求解．