Question

（2012•東城區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率是

1

2

，其左、右頂點分別為A₁，A₂，B為短軸的端點，△A₁BA₂的面積為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）F₂為橢圓C的右焦點，若點P是橢圓C上異于A₁，A₂的任意一點，直線A₁P，A₂P與直線x=4分別交于M，N兩點，證明：以MN為直徑的圓與直線PF₂相切于點F₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓離心率是

1

2

，其左、右頂點分別為A₁，A₂，B為短軸的端點，△A₁BA₂的面積為2

3

，建立方程組，可求橢圓方程；
（Ⅱ）求出M、N的坐標，利用向量證明F₂M⊥F₂N，點F₂在以MN為直徑的圓上，確定MN的中點E的坐標，利用向量證明F₂E⊥F₂P，即可證得以MN為直徑的圓與直線PF₂相切于右焦點．

解答：（Ⅰ）解：由已知，可得

c a = 1 2 ab=2 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

．                         …（4分）
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                     …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知A₁（-2，0），A₂（2，0），F₂（1，0）．
設P(x0，

y

0

)(x0≠±2)，則3

x

2 0

+4

y

2 0

=12．
于是直線A₁P方程為 y=

y0

x0+2

(x+2)，令x=4，得yM=

6y0

x0+2

；
所以M（4，

6y0

x0+2

），同理N（4，

2y0

x0-2

）．                        …（7分）
所以

F2M

=（3，

6y0

x0+2

），

F2N

=（3，

2y0

x0-2

）．
所以

F2M

•

F2N

=（3，

6y0

x0+2

）•（3，

2y0

x0-2

）=9+

6y0

x0+2

×

2y0

x0-2

=9+

12 y 2 0

x 2 0 -4

=9+

3(12-3 x 2 0 )

x 2 0 -4

=9-

9( x 2 0 -4)

x 2 0 -4

=9-9=0．
所以F₂M⊥F₂N，點F₂在以MN為直徑的圓上．                        …（9分）
設MN的中點為E，則E（4，

4y0(x0-1)

x02-4

）．                             …（10分）
又

F2E

=（3，

4y0(x0-1)

x02-4

），

F2P

=(x0-1，y0)，
所以

F2E

•

F2P

=（3，

4y0(x0-1)

x02-4

）•(x0-1，y0)=3(x0-1)+

4 y 2 0 (x0-1)

x 2 0 -4

=3(x0-1)+

(12-3 x 2 0 )(x0-1)

x 2 0 -4

=3(x0-1)-3(x0-1)=0．
所以F₂E⊥F₂P．                                                    …（12分）
因為F₂E是以MN為直徑的圓的半徑，E為圓心，F₂E⊥F₂P，
故以MN為直徑的圓與直線PF₂相切于右焦點．                           …（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定點的坐標，利用向量的數量積證明垂直關系．