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(2012•東城區一模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
1
2
,其左、右頂點分別為A1,A2,B為短軸的端點,△A1BA2的面積為2
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)F2為橢圓C的右焦點,若點P是橢圓C上異于A1,A2的任意一點,直線A1P,A2P與直線x=4分別交于M,N兩點,證明:以MN為直徑的圓與直線PF2相切于點F2
分析:(Ⅰ)根據橢圓離心率是
1
2
,其左、右頂點分別為A1,A2,B為短軸的端點,△A1BA2的面積為2
3
,建立方程組,可求橢圓方程;
(Ⅱ)求出M、N的坐標,利用向量證明F2M⊥F2N,點F2在以MN為直徑的圓上,確定MN的中點E的坐標,利用向量證明F2E⊥F2P,即可證得以MN為直徑的圓與直線PF2相切于右焦點.
解答:(Ⅰ)解:由已知,可得
c
a
=
1
2
ab=2
3
a2=b2+c2
,解得a=2,b=
3
.                         …(4分)
故所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.                                     …(5分)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知A1(-2,0),A2(2,0),F2(1,0).
P(x0
y
 
0
)(x0≠±2)
,則3
x
2
0
+4
y
2
0
=12

于是直線A1P方程為 y=
y0
x0+2
(x+2)
,令x=4,得yM=
6y0
x0+2

所以M(4,
6y0
x0+2
),同理N(4,
2y0
x0-2
).                        …(7分)
所以
F2M
=(3,
6y0
x0+2
),
F2N
=(3,
2y0
x0-2
).
所以
F2M
F2N
=(3,
6y0
x0+2
)•(3,
2y0
x0-2
)=9+
6y0
x0+2
×
2y0
x0-2
=9+
12
y
2
0
x
2
0
-4
=9+
3(12-3
x
2
0
)
x
2
0
-4
=9-
9(
x
2
0
-4)
x
2
0
-4
=9-9=0

所以F2M⊥F2N,點F2在以MN為直徑的圓上.                        …(9分)
設MN的中點為E,則E(4,
4y0(x0-1)
x02-4
).                             …(10分)
F2E
=(3,
4y0(x0-1)
x02-4
),
F2P
=(x0-1,y0)

所以
F2E
F2P
=(3,
4y0(x0-1)
x02-4
•(x0-1,y0)=3(x0-1)+
4
y
2
0
(x0-1)
x
2
0
-4

=3(x0-1)+
(12-3
x
2
0
)(x0-1)
x
2
0
-4
=3(x0-1)-3(x0-1)=0

所以F2E⊥F2P.                                                    …(12分)
因為F2E是以MN為直徑的圓的半徑,E為圓心,F2E⊥F2P,
故以MN為直徑的圓與直線PF2相切于右焦點.                           …(13分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查向量知識的運用,解題的關鍵是確定點的坐標,利用向量的數量積證明垂直關系.
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2
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(Ⅰ)若Q為A1B中點,求證:PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ)求證:A1E⊥EP.

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