Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

8

x2+lnx，x∈[1，e)
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）先求出f^′（x），利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（II）利用（I）的結(jié)論即可得出函數(shù)的最大值，再比較區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得出最小值．

解答：解：（I）由f′(x)=-

1

4

x+

1

x

=

-(x+2)(x-2)

4x

=0，x∈[1，e），解得x=2．
當(dāng)x∈[1，2）時，f^′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，e）時，f^′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，2]，單調(diào)遞減區(qū)間為[2，e）；
（II）由（I）可知：當(dāng)x=2時，f（x）取得最大值為-

1

8

×22+ln2=ln2-

1

2

．而f（1）=-

1

8

＜f（e）=-

e2

8

+1．
故其最小值為-

1

8

，因此函數(shù)f（x）的值域為[-

1

8

，ln2-

1

2

]．

點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值設(shè)解題的關(guān)鍵．