Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸為8離心率e=

3

2

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸為8，離心率e=

3

2

，知

2a=8 c a = 3 2

，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）法一：設所求直線方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，設直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8(2k2-k)

4k2+1

，由M為AB的中點，知

x1+x2

2

=

4(2k2-k)

4k2+1

=2，由此能求出直線方程．
法二：設直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，1）為AB的中點，所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，用點差法能求出直線方程．
法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A（x，y），由于中點為M（2，1），則另一個交點為B（4-x，2-y），因為A、B兩點在橢圓上，所以有

x2+4y2=16 (4-x)2+4(2-y)2=16

，由此能求出直線方程．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸為8，離心率e=

3

2

，
∴

2a=8 c a = 3 2

，
∴a=4，c=2

3

，b=

16-12

=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

16

+

y2

4

=1（6分）
（2）解法一：設所求直線方程為y-1=k（x-2），
代入橢圓方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，
又設直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程的兩個根，
于是x1+x2=

8(2k2-k)

4k2+1

，
又M為AB的中點，所以

x1+x2

2

=

4(2k2-k)

4k2+1

=2，
解得k=-

1

2

，（5分）
故所求直線方程為x+2y-4=0．（2分）
解法二：設直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（2，1）為AB的中點，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A、B兩點在橢圓上，
則x12+4y12=16，x22+4y22=16，
兩式相減得(x12-x22)+4(y12-y22)=0，
所以

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，
即kAB=-

1

2

，（5分）
故所求直線方程為x+2y-4=0．（2分）
解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A（x，y），
由于中點為M（2，1），
則另一個交點為B（4-x，2-y），
因為A、B兩點在橢圓上，
所以有

x2+4y2=16 (4-x)2+4(2-y)2=16

，
兩式相減得x+2y-4=0，
由于過A、B的直線只有一條，（5分）
故所求直線方程為x+2y-4=0．（2分）

點評：本題考查橢圓標準方程和直線方程的求法，考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．