Question

附加題：
設函數f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）滿足f（1）=0，g（x）=ax+b．
設A，B是f（x）與g（x）的圖象的兩個交點，AA₁垂直x軸于點A₁，BB₁垂直x軸于點B₁，求線段|A₁B₁|長的取值范圍．

Answer 1

分析：根據f（1）=0．得到c與a，b的關系，將f（x），g（x）兩方程聯立，設兩根為x₁，x₂，則|A₁B₁|=|x₁-x₂|，通過韋達定理表示出線段|A₁B₁|，再根據二次函數性質求出其的取值范圍．

解答：解：∵|A1B1|=|x1-x2|=

b2+2ab+a2-4ac

|a|

，
而a+b+c=0，⇒-c=a+b，
故|A1B1|=

b2+6ab+5a2 a2

=

( b a )2+6( b a )+5

令

b

a

=t，
而c=-a-b＜b⇒-a＜ab＜2a⇒a＞0，
∵a＞b，
∴

b

a

＜1，
∵-a＜2b，
∴

b

a

＞-

1

2

⇒t=

b

a

∈(-

1

2

，1)，故|A1B1|∈(

3

2

，2

3

)．

點評：本題考查了函數的變形以及二次函數的性質，是常考題型．