Question

【題目】某沿海特區為了緩解建設用地不足的矛盾，決定進行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現欲在海岸線，上分別取點，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.

（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；

（2）若需要進一步擴大圍海造陸工程，在海堤的另一側選取點，修建海堤，圍成四邊形陸地.當海堤與的長度之和為10千米時，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當，兩點距離點都為千米時，最大面積為（平方千米）；

（2）四邊形面積的最大值為（平方千米）.

【解析】

（1）設，，由余弦定理得：，

因為，即，當且僅當時取得等號；

（2）要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.在中，，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區域內的曲線），根據橢圓的幾何性質，求出點到距離的最大值即可得到最大面積.

（1）設，，（單位：千米）

在中，由余弦定理得：，

因為，，，，

所以，，

故，當且僅當時取得等號，

此時，（平方千米）.

所以，當，兩點距離點都為千米時，的面積最大，最大面積為（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.

在中，，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區域內的曲線），

以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，

設點所在的橢圓方程為，焦距為，

由，得：，

所以點所在的橢圓方程為.

設，則，因為，

所以（平方千米），當且僅當（千米）時取得等號.

所以，四邊形面積的最大值為（平方千米）.