Question

【題目】如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數列為“阿當數列”.

（1）若數列為“阿當數列”，且，，，求實數的取值范圍；

（2）是否存在首項為1的等差數列為“阿當數列”，且其前項和滿足？若存在，請求出的通項公式；若不存在，請說明理由.

（3）已知等比數列的每一項均為正整數，且為“阿當數列”，，，當數列不是“阿當數列”時，試判斷數列是否為“阿當數列”，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見詳解；（3）見詳解.

【解析】

（1）根據題意，得到，求解即可得出結果；

（2）先假設存在等差數列為“阿當數列”，設公差為，則，根據等差數列求和公式，結合題中條件，得到，即對任意都成立，判斷出，推出矛盾，即可得出結果；

（3）設等比數列的公比為，根據為“阿當數列”，推出在數列中，為最小項；在數列中，為最小項；得到，，再由數列每一項均為正整數，得到，或，；分別討論，和，兩種情況，結合數列的增減性，即可得出結果.

（1）由題意可得：，，

即，解得或；

所以實數的取值范圍是；

（2）假設存在等差數列為“阿當數列”，設公差為，則，

由可得：，

又，所以對任意都成立，

即對任意都成立，

因為，且，所以，與矛盾，

因此，不存在等差數列為“阿當數列”；

（3）設等比數列的公比為，則，且每一項均為正整數，

因為為“阿當數列”，所以，

所以，；因為，

即在數列中，為最小項；

同理，在數列中，為最小項；

由為“阿當數列”，只需，即，

又因為數列不是“阿當數列”，所以，即，

由數列每一項均為正整數，可得：，所以，或，；

當，時，，則，

令，則，

所以，

即數列為遞增數列，

所以，

因為，所以對任意，都有，

即數列是“阿當數列”；

當，時，，則，

顯然數列是遞減數列，，

故數列不是“阿當數列”；

綜上，當時，數列是“阿當數列”；當時，數列不是“阿當數列”.