Question

（本小題滿分14分）

在數列與中，，數列的前項和滿足

,為與的等比中項，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數列與的通項公式；

（Ⅲ）設.證明.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

（Ⅱ），

（Ⅲ）證明見解析.

【解析】本小題主要考查等差數列的概念、通項公式及前項和公式、等比數列的概念、等比中項、不等式證明、數學歸納等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分14分

（Ⅰ）解：由題設有，，解得．由題設又有，，解得．

（Ⅱ）解法一：由題設，，，及，，進一步可得，，，，猜想，，．

先證，．

當時，，等式成立．當時用數學歸納法證明如下：

（1當時，，等式成立．

（2）假設時等式成立，即，．

由題設，　　

　　　　

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而

．

這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的成立．

綜上所述，等式對任何的都成立

再用數學歸納法證明，．

（1）當時，，等式成立．

（2）假設當時等式成立，即，那么

．

這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的都成立．

解法二：由題設　　

　　　　

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以

　　　　　　　　，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，．

將以上各式左右兩端分別相乘，得，

由（Ⅰ）并化簡得，．

止式對也成立．

由題設有，所以，即，．

令，則，即．由得，．所以，即，．

解法三：由題設有，，所以

，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，．

將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡得

，．

由（Ⅰ），上式對也成立．所以，．

上式對時也成立．

以下同解法二，可得，．

（Ⅲ）證明：．

當，時，

．

注意到，故

　．

當，時，

當，時，

．

當，時，

．

所以．

從而時，有

總之，當時有，即．