Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+l=a_n+cn （n∈N*，常數c≠0），且a₁，a₂，a₃成等比數列．
（I）求c的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）由題知，a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，根據a₁，a₂，a₃成等比數列，列出關于c的方程并求解即可．
（Ⅱ）利用累加法可以求得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=

n(n-1)

2

c，利用（Ⅰ）求得的c，代入求出通項．

解答：解：（Ⅰ）由題知，a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，（2分）
因為a₁，a₂，a₃成等比數列，所以（2+c）²=2（2+3c），（4分）
解得c=0或c=2，又c≠0，故c=2．（6分）
（Ⅱ）當n≥2時，由a_n+1=a_n+cn
得a₂-a₁=c，
a₃-a₂=2c，
…
a_n-a_n-1=（n-1）c，
以上各式相加，得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=

n(n-1)

2

c，（9分）
又a₁=2，c=2，故an=n2-n+2(n≥2)，（11分）
當n=1時上式也成立，（12分）
所以數列{a_n}的通項公式為an=n2-n+2．（n∈N^*）．（13分）

點評：本題考查了等比數列的定義、性質，累加法求通項．