Question

設x，y ∈R ，求證|x+y|=|x|+|y| 成立的充要條件 是xy≥0.

Answer 1

證明：①充分性：
如果xy≥0，則有xy=0 和xy>0 兩種情況，
當xy=0時，不妨設x=0 ，則|x+y|=|y| ，|x|+|y|=|y| ， ∴等式成立．    
當xy>0時，即x>0，y>0 或x<0 ，y<0 ，又當x>0，y>0 時，|x+y|=x+y ，|x|+|y|=x+y ，∴等式成立．    
當x<0，y<0 時，|x+y|=-(x+y)，|x|+|y|=-x-y，∴等式成立，
總之，當xy ≥0 時，|x+y|=|x|+|y| 成立．    
②必要性：
若|x+y|=|x|+|y|且x ，y ∈R ，得|x+y|²= （|x|+|y| ）² ，即x²+2xy+y²=x²+y²+2|x| ·|y| ，∴|xy|=xy ，∴xy ≥0.    
綜上可知，xy ≥0是等式|x+y|=|x|+|y| 成立的充要條件．