Question

正三棱錐P-ABC各頂點都在一個半徑為2的球面上，球心到底面ABC的距離為1，求此正三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：求出三角形ABC所在小圓半徑，求出三角形的邊長，推出三角形的面積，然后通過棱錐的體積公式求出體積即可．

解答：解：△ABC所在小圓半徑r=

22-12

=

3

，   △ABC的高為

3 3

2

，
三角形的邊長為b，由于

3

2

b=

3 3

2

，解得b=3
⇒S△ABC=

1

2

×3×

3 3

2

= 

9 3

4

（3分）
球心到平面ABC的距離為1⇒三棱錐的高h=2-1=1或h=2+1=3；                  （4分）
綜上VP-ABC=

1

3

S△ABC•h=

9 3

4

或

3 3

4

（5分）

點評：本題是基礎題，考查球的內接三棱錐的有關知識，求出三角形的邊長與三角形的面積是解題的關鍵，考查計算能力．