Question

（本小題滿分12分）

已知函數.

（Ⅰ）當時，使不等式，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若在區間上，函數的圖象恒在直線的下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當時，在區間上函數的圖象恒在直線的下方

解析:

（Ⅰ）當時，

由，得函數在區間為增函數，

則當時。

故要使使不等式成立，只需即可。

（Ⅱ）在區間上，函數的圖象恒在直線的下方等價于

對，，即恒成立。

設，

則.

當時，.

（1）若，即，，函數在區間為減函數，

則當時，

只需，即當時恒成立.

（2）若，即時，令得

函數在區間為減函數，為增函數，

則，不合題意.

（3）若，即當時，函數在區間為增函數，

則，不合題意.

綜上可知當時恒成立，

即當時，在區間上函數的圖象恒在直線的下方。

方法2：對，恒成立，即對，恒成立. 設函數，

（1）如圖1，當時，即，函數為開口向下的二次函數，

則當時，函數的圖象在的圖象上方是不可能的；

（2）如圖2，當時，即，對于的函數的圖象恒在的圖象上方；

（3）如圖3，當時，即，函數為過坐標原點且開口向上的二次函數，要使的函數的圖象恒在的圖象上方，只需函數的圖象與軸的交點不在的右邊，即，則，且，即.

綜上可知當時，對的函數的圖象恒在的圖象上方，即當時函數的圖象恒在直線的下方。