Question

在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面⊥平面，，、分別為、的中點．

（Ⅰ）證明：⊥；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）證明：⊥，證明兩線垂直，只需證明一線垂直另一線所在的平面，從圖上看現有的平面都不滿足，需重新構造，注意到，是邊長為的正三角形，可考慮取中點，連結，，這樣易證平面，從而可得；（Ⅱ）求三棱錐的體積，在這里的面積不容易求，且Ｂ到平面的距離也不易求，故可等體積轉化，換為求三棱錐的體積，由題意，，為的中點，故到平面的距離就等于點到平面的距離的，從而可得三棱錐的體積．
試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，取中點，連結，．
∵，∴ ．     2分
又∵是正三角形， ∴．    
∵ ，
∴⊥平面．     4分
又在平面內，∴⊥．   6分

（Ⅱ）∵是的中點，
∴．    8分
∵平面⊥平面，，∴平面．
又∵，，∴，即點到平面的距離為1．
∵是的中點，∴點到平面的距離為．      10分
∴．      12分