Question

【題目】已知函數 .

（1）求的單調區間；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為（﹣∞，0），單調減區間為（0，+∞）．（2）

【解析】試題分析：（1）先求出的定義域，再利用導數判斷的單調性，
（2）分類參數可得 ，利用導數求出 的最值或極限即可得出的范圍．

試題解析：（1）令g（x）=xex，則g′（x）=ex（1+x），

∴當x＜﹣1時，g′（x）＜0，當x＞﹣1時，g′（x）＞0，

∴g（x）≥g（﹣1）=﹣，即xex≥﹣＞﹣1，

∴xex+1＞0恒成立，

∴f（x）的定義域為R．

f′（x）==，

令f′（x）＞0得x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，

∴f（x）的單調增區間為（﹣∞，0），單調減區間為（0，+∞）．

（2）當x＞0時，f（x）＞0，ax2+1＞0（a≥0），

∵，

∴a＞﹣+（x＞0），

令h（x）=﹣+（x＞0），

則h′（x）=﹣+﹣=，

令p（x）=2ex﹣2﹣x﹣xex（x＞0），則p′（x）=ex﹣1﹣xex，

∴p″（x）=﹣xex＜0，

∴P′（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴p′（x）＜p′（0）=0，

∴p（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴p（x）＜p（0）=0，

∴h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

又h（x）=，

∴==，

∴h（x）＜，

∴a≥.