Question

（2013•東城區二模）在數列{a_n}中，若對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=t（t為常數），則稱數列{a_n}為比等差數列，t稱為比公差．現給出以下命題：
①等比數列一定是比等差數列，等差數列不一定是比等差數列；
②若數列{a_n}滿足a_n=

2n-1

n2

，則數列{a_n}是比等差數列，且比公差t=

1

2

；
③若數列{c_n}滿足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），則該數列不是比等差數列；
④若{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，則數列{a_nb_n}是比等差數列．
其中所有真命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：①由等比數列的特點，代入可知滿足新定義，若等差數列的公差d=0時滿足題意，當d≠0時，不是比等差數列，可知正確；②代入新定義驗證可知，不滿足；③由遞推公式計算數列的前4項，可得

c3

c2

-

c2

c1

≠

c4

c3

-

c3

c2

，故該數列不是比等差數列；④可舉{a_n}為0列，則數列{a_nb_n}為0列，顯然不滿足定義．

解答：解：①若數列{a_n}為等比數列，且公比為q，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=q-q=0，為常數，故等比數列一定是比等差數列，
若數列{a_n}為等差數列，且公差為d，當d=0時，

an+2

an+1

-

an+1

an

=1-1=0，為常數，是比等差數列，
當d≠0時，

an+2

an+1

-

an+1

an

不為常數，故不是比等差數列，故等差數列不一定是比等差數列，故正確；
②若數列{a_n}滿足a_n=

2n-1

n2

，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

2(n+1)2

(n+2)2

-

2n2

(n+1)2

不為常數，故數列{a_n}不是比等差數列，故錯誤；
③若數列{c_n}滿足c₁=1，c₂=1，c_n=c_n-1+c_n-2（n≥3），可得c₃=2，c₄=3，故

c3

c2

-

c2

c1

=1，

c4

c3

-

c3

c2

=-

1

2

，
顯然

c3

c2

-

c2

c1

≠

c4

c3

-

c3

c2

，故該數列不是比等差數列，故正確；
④若{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，可舉{a_n}為0列，則數列{a_nb_n}為0列，顯然不滿足定義，即數列{a_nb_n}不是比等差數列，故錯誤．
故答案為：①③

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，涉及等差數列和等比數列以及新定義，屬基礎題．