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已知函數f(x)=
2x+1x+1

(I)用定義證明函數在區間[1,+∞)是增函數;
(II)求該函數在區間[2,4]上的最大值與最小值.
分析:(Ⅰ)在區間[1,+∞)內任取兩數x1,x2并規定好大小,再作差f(x1)-f(x2),根據增函數的定義判斷即可;
(Ⅱ)又(1)可知f(x)=
2x+1
x+1
在區間[1,+∞)是增函數,從而在[2,4]上亦然為增函數,于是可求得函數在區間[2,4]上的最大值與最小值.
解答:(I)證明:任取1≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=
2x1+1
x1+1
-
2x2+1
x2+1
=
(x1-x2
(x1+1)•(x2+1) 

∵1≤x1<x2,故x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函數f(x)=
2x+1
x+1
在區間[1,+∞)是增函數;
(II)由(I)知函數f(x)=
2x+1
x+1
在[2,4]上是增函數,
∴f(x)max=f(4)=
2×4+1
4+1
=
9
5

f(x)min=f(2)=
5
3
點評:本題考查函數單調性的性質,著重考查利用函數單調性的定義證明其單調性,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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1
x
,(x>0),若存在實數a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數m的取值范圍是(  )

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