Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示．
（Ⅰ）證明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）在∠ACB的平分線上確定一點Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時PQ的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BC⊥平面PAC，可得BC⊥AD，再證明AD⊥PC，即可證明AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，利用線面平行的判定可知點Q即為所求，證明ACBQ為平行四邊形，即可求出PQ的長．

解答：（Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，…（1分）
又AC⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，
而AD?面PAC，所以BC⊥AD．…（3分）
由三視圖得，在△PAC中，PA=AC=4，D為PC中點，
所以AD⊥PC，
又BC⊥AD，PC∩BC=B，∴AD⊥平面PBC；     …（5分）
（Ⅱ）解：如圖取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，點Q即為所求．   …（7分）
因為O為CQ中點，所以PQ∥OD，…（8分）
因為PQ?平面ABD，OD?平面ABD，所以PQ∥平面ABD…（10分）
連接AQ，BQ，四邊形ACBQ的對角線互相平分，
所以ACBQ為平行四邊形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，所以在直角△PAQ中，PQ=

AP2+AQ2

=4

2

．   …13 分

點評：本題考查線面垂直的判定，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直的判定，線面平行的判定定理是關鍵．