Question

（本小題滿分12分）已知拋物線的準線方程，與直線在第一象限相交于點，過作的切線，過作的垂線交x軸正半軸于點，過作的平行線交拋物線于第一象限內的點，過作拋物線的切線，過作的垂線交x軸正半軸于點，…，依此類推，在x軸上形成一點列，，，…，，設點的坐標為

   （Ⅰ）試探求關于的遞推關系式；  （Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  見解析 （Ⅲ）見解析

解析:

（I）由題意知：　　（１分）

    由題意知聯立得：，.

       　　　（３分）

    切線的斜率為，直線的斜率，

    直線的方程為

    令，得：     （５分）

    （Ⅱ）由已知易得，直線的斜率，

直線的方程為：令得  （７分）

 （９分）

 

當時 ，即： 

當時，  故（11分）(用數學歸納法證明亦可)

（III）由（II）知：.

.   (12分)