Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列，
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N*，有a_m+a_m+1=a_k？請說明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q為常數，且aq≠0）對任意m存在k，有b_m·b_m+1=b_k，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ，試確定所有的p，使數列{b_n}中存在某個連續p項的和式數列中{a_n}的一項，請證明。

Answer 1

解：（1）由，得6m+5=3k+1，
整理后，可得，
∵m、k∈N，
∴k-2m為整數
∴不存在n、k∈N*，使等式成立。
（2）當m=1時，則，
∴，
∴，其中c是大于等于-2的整數，
反之當時，其中c是大于等于-2的整數，則，
顯然，其中k=2m+1+c，
∴a、q滿足的充要條件是，其中c是大于等于-2的整數。
（3）設，
當p為偶數時，（*）式左邊為偶數，右邊為奇數；
當p為偶數時，（*）式不成立。
由（*）式得，整理得，
當p=1時，符合題意；
當p≥3，p為奇數時，


，
∴由，
得，
∴當p為奇數時，此時，一定有m和k使上式一定成立；
∴當p為奇數時，命題都成立。