Question

經觀察，人們發現鮭魚在河中逆流勻速行進時所消耗的能量為E=kv³t，其中v為鮭魚在靜水中的速度，t為行進的時間（單位：h），k為大于零的常數．如果水流的速度為3km/h，鮭魚在河中逆流行進100km．則當鮭魚消耗的能量最少時，v=

4.5km/h

．

Answer 1

分析：根據相對速度的定義，求出鮭魚逆流行駛的速度為v-3，從而表示出鮭魚鮭魚逆流勻速行進100km所用的時間，再代入公式E=kv³t，即可求出鮭魚在逆流中消耗的能量E關于v的解析式，然后根據導數求出其最小值即可．

解答：解：鮭魚逆流勻速行進100km所用的時間為t=

100

v-3

．…（2分）
所以E=kv³t=kv³

100

v-3

=

100kv3

v-3

（v∈（3，+∞））．…（6分）
∴E′=100k

3v2(v-3)-v3

(v-3)2

=100k

2v2(v-4.5)

(v-3)2

．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因為k＞0，v＞3，所以當v∈（3，4.5）時，E′＜0，
當v∈（4.5，+∞）時，E′＞0．
故E=

100kv3

v-3

在（3，4.5）上單調遞減，在（4.5，+∞）上單調遞增．…（13分）
所以，當v=4.5時，E取得極小值也是最小值．
即當鮭魚消耗的能量最少時，v=4.5km/h．
故答案為：4.5km/h．…（14分）

點評：本題以物理學為背景，其實質是利用導數求函數極值的應用，解題時要理解鮭魚在靜水中的速度和逆流中的速度之間的關系，正確對函數求導，合理地運用導數性質求函數的最小值．