Question

經觀察，人們發現鮭魚在河中逆流勻速行進時所消耗的能量為E=kv³t，其中v為鮭魚在靜水中的速度，t為行進的時間（單位：h），k為大于零的常數．如果水流的速度為3km/h，鮭魚在河中逆流行進100km．
（1）將鮭魚消耗的能量E表示為v的函數；
（2）v為何值時，鮭魚消耗的能量最少？

Answer 1

分析：（1）根據相對速度的定義，求出鮭魚逆流行駛的速度為v-3，從而表示出鮭魚鮭魚逆流勻速行進100km所用的時間，再代入公式E=kv³t，即可求解；
（2）由（1）已經求出鮭魚在逆流中消耗的能量E關于v的解析式，然后根據導數求出其最小值即可；

解答：解：（1）鮭魚逆流勻速行進100km所用的時間為t=

100

v-3

．   …（2分）
所以E=kv³t=kv³

100

v-3

=

100kv3

v-3

（v∈（3，+∞））．       …（6分）
（2）∵E=

100kv3

v-3

∴E′=100k 

3v2(v-3)-v3

(v-3)2

=100k

2v2(v-4.5)

(v-3)2

．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因為k＞0，v＞3，所以當v∈（3，4.5）時，E′＜0，
當v∈（4.5，+∞）時，E′＞0．
故E=

100kv3

v-3

在（3，4.5）上單調遞減，在（4.5，+∞）上單調遞增．…（13分）
所以，當v=4.5時，E取得極小值也是最小值．
即v=4.5km/h時，鮭魚消耗的能量最小．             …（14分）

點評：此題一物理學為背景，其實質是利用導數求函數極值的應用，第一問要理解鮭魚在靜水中的速度和逆流中的速度之間的關系；第二問主要是正確對函數求導，本題難度中等；