Question

（2012•泰州二模）已知函數f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x（a＞0）．
（1）若函數f（x）在x=0處取極值，求a的值；
（2）如圖，設直線x=-

1

2

，y=-x將坐標平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個區域（不含邊界），若函數y=f（x）的圖象恰好位于其中一個區域內，判斷其所在的區域并求對應的a的取值范圍；
（3）比較3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹與2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x得f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數的定義域為（-

1

2

，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，又直線y=-x恰好過原點，所以函數y=f（x）的圖象應位于區域Ⅲ內，于是f（x）＜-x，由此能求出a的取值范圍．
（3）由（2）知，函數m（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在x∈（

e-1

2

，+∞）時單調遞減，函數p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）時，單調遞減，故 （x+1）^x＜x^（x+1），由此能比較3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹與2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大�。�

解答：解：（1）∵f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x，
∴f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（0）=-4a+1=0，
∴a=

1

4

，經檢驗a=

1

4

符合題意，
故a=

1

4

．
（2）∵函數的定義域為（-

1

2

，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，
又直線y=-x恰好過原點，
所以函數y=f（x）的圖象應位于區域Ⅲ內，
于是f（x）＜-x，
即 （2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x＜-x，
∵2x+1＞0，∴a＞

ln(2x+1)

2x+1

，
令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，∴h′（x）=

2-ln(2x+1)

(2x+1)2

，
令h′（x）=0，得x=

e-1

2

，
∵x＞-

1

2

，∴x∈（-

1

2

，

e-1

2

）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
x∈（

e-1

2

，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減．
∴m_max（x）=m（

e-1

2

）=

1

e

，
∴a的取值范圍是：a＞

1

e

．
（3）由（2）知，函數m（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在x∈（

e-1

2

，+∞）時單調遞減，
∴函數p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）時，單調遞減，
∴

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴ln（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=3，4，…，2011，則4³＜3⁴，5⁴＜4⁵，…，2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
又3²×4³＜2³×3⁴，
∴3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹＜2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進行等價轉化．