Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）
（1）若方程f（x）=0無實根，求證：b＞0；
（2）若方程f（x）=0有兩個實根，且兩實根是相鄰的兩個整數，求證：f（-a）=

1

4

（a²-1）．

Answer 1

分析：（1）只需要轉化為相應方程的根的問題即可解答．
（2）充分利用函數與方程的思想，在對應方程當中利用韋達定理即可解答．

解答：解：（1）若方程f（x）=0無實根，則△=a²-4b＜0，b＞

a2

4

，∴b＞0．
（2）證明：設f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
則由一元二次方程個與系數的關系可得 2m+1=-a，m（m+1）=b，故b=

1

4

（a2-1），
所以f（-a）=b=

1

4

（a2-1）．

點評：此題考查了零點概念、代數恒等變形、含參數的二次函數等知識，是對二次函數性質比較綜合和深刻的考查．在解答過程當中問題轉化的能力以及數形結合的思想得到了淋漓盡致的考查，值得同學們體會反思，屬于中檔題．