Question

（2010•溫州二模）已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上焦點為F，左、右頂點分別為B₁，B₂，下頂點為A，直線AB₂與直線B₁F交于點P，若

AP

=2

AB2

，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．

  2

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：先寫出直線AB₂與直線B₁F的方程，聯立方程組求出交點P的坐標，B₂為AP的中點，可得a與c的關系，進而求出離心率．

解答：解：由題意知，A（0，-a）、F （0，c）、B₁（-b，0）、B₂（b，0），B₂為AP的中點．
AB₂方程

x

b

-

y

a

=1，即 ax-by-ab=0  ①，B₁F方程

x

-b

+

y

c

=1，即 cx-by+bc=0   ②，
將①②聯立方程組可求得點P的坐標（

b(a+c)

a-c

，

2ac

a-c

），
再由中點公式得：2b=0+

b(a+c)

a-c

，0=-a+

2ac

a-c

，
∴a=3c，
∴e=

c

a

=

1

3

．
故答案選 D

點評：本題考查橢圓的性質及求2條直線的交點坐標．