Question

（2010•溫州二模）已知f′（x）是函數f(x)=

1

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x3-mx2+(m2-1)x+n的導函數，若函數y=f[f′（x）]在區間[m，m+1]上單調遞減，則實數m的范圍是

-1≤m≤0

．

Answer 1

分析：求出函數f（x）的導函數，由導函數的符號得到原函數的單調區間，再求出導函數的導函數，得到導函數的單調區間，由導函數在區間[m，m+1]上單調遞增求出其值域[-1，0]，借助于符合函數的單調性把問題轉化為[-1，0]⊆[m-1，m+1]求解．

解答：解：由函數f(x)=

1

3

x3-mx2+(m2-1)x+n，
得f′（x）=x²-2mx+m²-1=（x-m）²-1，
由（x-m）²-1＞0，得x＜m-1或x＞m+1，
∴函數f（x）的增區間為（-∞，m-1），（m+1，+∞），
由（x-m）²＜0，得m-1＜x＜m+1，
∴函數f（x）單調減區間為[m-1，m+1]．
由f''（x）=2x-2m，得f'（x）的單調增區間為[m，+∞），單調減區間為（-∞，m]．
∵函數f'（x）在[m，m+1]上單調遞增，
∴函數f'（x）在[m，m+1]上的值域為[-1，0]，
又∵函數y=f[f′（x）]在區間[m，m+1]上單調遞減，也就是函數y=f（x）在區間[-1，0]上單調遞減，
因此要滿足條件[-1，0]⊆[m-1，m+1]．
即

m-1≤-1 m+1≥0

，
解得：-1≤m≤0．
∴實數m的范圍是：-1≤m≤0．
故答案為：-1≤m≤0．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了復合函數單調性問題，考查了數學轉化思想方法，屬中檔題．