Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作漸近線y=

b

a

x的垂線與雙曲線左右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍（　　）

• A．（1，2）
• B．（1，

  2

  ）
• C．（

  2

  ，+∞）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：設過雙曲線的右焦點F與漸近線y=

b

a

x垂直的直線為AF，根據題意得AF的斜率要小于雙曲線另一條漸近線的斜率，由此建立關于a、b的不等式，解之可得b²＞a²，從而可得雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：過雙曲線的右焦點F作漸近線y=

b

a

x的垂線，設垂足為A，
∵直線AF與雙曲線左右兩支都相交，
∴直線AF與漸近線y=-

b

a

x必定有交點B
因此，直線y=-

b

a

x的斜率要小于直線AF的斜率
∵漸近線y=

b

a

x的斜率為

b

a

∴直線AF的斜率k=-

a

b

，可得-

b

a

＜-

a

b

，
即

b

a

＞

a

b

，b²＞a²，可得c²＞2a²，
兩邊都除以a²，得e²＞2，解得e＞

2

故選：C

點評：本題給出過雙曲線焦點與一條漸近線垂直的直線，交雙曲線與左右兩點各一個交點，求雙曲線離心率取值范圍．著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．