Question

已知函數．
（1）求證：時，恒成立；
（2）當時，求的單調區間．

Answer 1

（1）詳見試題解析；（2）時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；時，的單調遞減區間為，無單調增區間．

試題分析：（1）當時，，根據求函數極值的一般步驟，先求函數的定義域，再求導數，解的方程，得可能的極值點，進一步得函數的單調性，最后得的最小值，從而證得恒成立；（2）當時，先求的導數：，根據表達式的結構特征，分子為，故只需分，，幾種情況，分別求函數的單調區間．
試題解析：（1）當時，，，，令，解得：．當時，，在上單調遞減； 當時，，在上單調遞增，∴．
所以，， ．                            5分
（2）的定義域為，．
①當時，，此時在區間上單調遞增，在上單調遞減；
②當時，．令，解得：．
ⅰ）當時，，令，解得：．令，解得：或，此時在區間上單調遞增，在和上單調遞減．
ⅱ）當時，，此時，在區間上單調遞減．
綜上，時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；時，的單調遞減區間為，無單調增區間．                              13分