Question

下列命題正確的個數有（　　）
（1）命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件；
（2）命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x²+x+1＞0”；
（3）經過兩個不同的點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直線都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）來表示；
（4）在數列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，且滿足S_n+1=

1

2

Sn+2，則{a_n}是等比數列；
（5）若函數f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，則a=4，b=11．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：對于（1），由復合命題的真值表加以判斷；
對于（2），直接寫出特稱命題的否定加以判斷；
對于（3），化直線方程的兩點式為整式方程，說明命題正確；
對于（4），由數列遞推式得到2a_n+1=a_n（n≥2），求出a₂后說明

a2

a1

≠2，命題錯誤；
對于（5），求導數，利用函數在x=1處有極值10，得到兩個條件f（1）=10和f'（1）=0，然后利用方程組求解a，b．

解答： 解：（1），“p∧q為真命題”是p和q均為真命題．而“p∨q為真命題”只要p和q中至少有一個真命題即可，故命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的充分不必要條件，命題（1）錯誤；
（2）命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“對?x∈R，均有x²+x+1≥0”，命題（2）錯誤；
（3）經過兩個不同的點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直線都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）來表示，命題（3）正確；
（4）在數列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，且滿足S_n+1=

1

2

Sn+2，即2S_n+1=S_n+4，
取n=n-1，得2S_n=S_n-1+4（n≥2），兩式作差得：2a_n+1=a_n（n≥2），
由S_n+1=

1

2

Sn+2，且a₁=1求得a2=

3

2

，則{a_n}不是等比數列，命題（3）錯誤；
（5）若函數f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，則a=4，b=11，正確．
由函數的導數為f'（x）=3x²+2ax-b，
∵函數f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1處有極值10，
∴f（1）=10且f'（1）=0．
即

3+2a-b=0 1+a-b+a2=10

，解得

a=-3 b=-3

或

a=4 b=11

．
當a=-3，b=-3時，f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
此時函數單調遞增，此時函數沒有極值，不滿足條件．
經檢驗值當a=4，b=11時，滿足條件，命題（5）正確．
∴正確的命題是2個．
故選：B．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了等比關系的確定，訓練了利用導數求函數的最值，是中檔題．