Question

已知f(2x+1)=

8x+7

4x2+4x+2

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先利用配湊法求出函數的解析式，然后求出導函數，求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，從而求出函數的值域．

解答：解：∵f(2x+1)=

8x+7

4x2+4x+2

，
∴f（2x+1）=

4(2x+1)+3

(2x+1)2+1

即f（x）=

4x+3

x2+1

令f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

=0
解得x=-2或

1

2

當x∈（-∞，-2）時f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＜0
當x∈（-2，

1

2

）時f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＞0
x∈（

1

2

，+∞）時f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＜0
∴當x=-2時函數取最小值-1，當x=

1

2

時函數有最大值4．
故函數的值域為[-1，4]

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的值域，關于函數的值域的求解最近幾年有所弱化，本題屬于基礎題．