Question

【題目】設函數， （）.

（Ⅰ）求函數的單調增區間；

（Ⅱ）當時，記，是否存在整數，使得關于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 的單調增區間為； 時， 的單調增區間為;（Ⅱ）0.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數的導函數，原函數的單調增區間即為使導函數大于零的區間，根據導函數分段討論 的不同取值范圍時的單調增區間即可.

（Ⅱ）單調遞增，存在唯一，使得，即，當時， ，當時， ，所以 求得的范圍，得到的范圍，得到最小整數值.

試題解析：（Ⅰ）

（）

①當時，由，解得；

②當時，由，解得；

③當時，由，解得；

綜上所述，

當時， 的單調增區間為；

時， 的單調增區間為.

（Ⅱ）當時， ， ， ，

所以單調遞增， ， ，

所以存在唯一，使得，即，

當時， ，當時， ，

所以

，

記函數，則在上單調遞增，

所以，即，

由，且為整數，得，

所以存在整數滿足題意，且的最小值為0.

點晴:本題主要考查導數的單調性，導數與極值點、不等式等知識. 解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區間易出錯. 解決含參數問題及不等式問題注意兩個轉化：(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．(2)將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性問題處理．