Question

已知定義域為R的偶函數y=f（x）在[0，+∞）上單調遞增，其圖象均在x軸上方，對任意m，n∈[0，+∞），都有f（m•n）=[f（m）]ⁿ，且f（2）=4．
（1）求f（0）、f（-1）的值；
（2）解關于x的不等式[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2，其中k∈（-1，1）．

Answer 1

分析：（1）由題意知對任意x∈R，f（x）＞0，而對任意m，n∈[0，+∞），都有f（mn）=[f（m）]ⁿ，令m=n=0可求出f（0）的值，令m=1，n=2，可得[f（1）]²=4，求出f（1）=2，根據偶函數可求出f（-1）的值；
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2⇒f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)，然后根據f（x）為偶函數，且在[0，+∞）上單調遞增，則|

kx+2

x2+4

|≥1，轉化成（k²-1）x²+4kx≥0，討論二次項系數可求出所求．

解答：解：（1）由題意知對任意x∈R，f（x）＞0，
又對任意m，n∈[0，+∞），都有f（mn）=[f（m）]ⁿ，
則令m=n=0則f（0）=[f（0）]⁰=1，…（2分）
令m=1，n=2，可得f（2）=f（1×2）=[f（1）]²=4，
∴f（1）=2，根據偶函數的性質可知f（-1）=2．…（6分）
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2⇒f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)…（9分）
∵f（x）為偶函數，且在[0，+∞）上單調遞增，∴|

kx+2

x2+4

|≥1，
即（k²-1）x²+4kx≥0…（11分）
當-1＜k＜0時，原不等式的解集為[

4k

1-k2

，0]；
當k=0時，原不等式的解集為{0}；
當0＜k＜1時，原不等式的解集為[0，

4k

1-k2

]．…（14分）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性，以及函數的單調性，同時考查了轉化與分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．