Question

(本小題滿分12分)

已知點是區域,()內的點，目標函數，的最大值記作.若數列的前項和為，,且點（）在直線上.

（Ⅰ）證明：數列為等比數列；

（Ⅱ）求數列的前項和.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）∴

【解析】

試題分析：（1）根據當直線過點時，目標函數取得最大值，故

進而得到的關系式，然后利用通項公式與前n項和的關系得到證明。

（2）由（Ⅰ）得，∴，根據通項公式的特點，分組求和得到結論。

解：（Ⅰ）由已知當直線過點時，目標函數取得最大值，故

∴方程為

∵（）在直線上， 

∴ ①

∴  ②

由①-②得，       ∴，

 ∴

∵，     ∴數列以為首項，為公比的等比數列

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴

∵，   ∴

∴

考點：本試題主要考查了等比數列的定義和數列的求和的綜合運用。

點評：解決該試題的關鍵是分析出線性目標函數的最優解，然后得到，然后得到。