Question

已知數列{an}中，a1=

1

2

，點(n，2an+1-an)(n∈N*)在直線y=x上，
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）設S_n、T_n分別為數列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列{

Sn+λTn

n

}為等差數列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，代入計算可得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）利用b_n=a_n+1-a_n-1，及2a_n+1-a_n=n，即可證明數列{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）求得數列的前三項，求得λ，再驗證即可求得結論．

解答：（Ⅰ）解：由題意，∵點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵a1=

1

2

，∴a2=

3

4

，
同理，a3=

11

8

，a4=

35

16

；
（Ⅱ）證明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1=

an+1+n+1

2

-a_n+1-1=

1

2

（a_n+1-a_n-1）=

1

2

b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

∴數列{b_n}是以-

3

4

為首項，

1

2

為公比的等比數列；
（Ⅲ）解：存在λ=2，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列．
由（Ⅱ）知，bn=-3×(

1

2

)n+1，Tn=3×(

1

2

)n+1-

3

2

，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+3×(

1

2

)n+1，∴a_n=n-2+3×(

1

2

)n，
∴S_n=

n(n+1)

2

-2n+3×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

n2-3n

2

+3-

3

2n

由題意，要使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列，則2×

S2+λT2

2

=

S1+λT1

1

+

S3+λT3

3

∴2×

10-9λ

16

=

1

2

-

3

4

λ+

42-21λ

48

，∴λ=2
當λ=2時，

Sn+λTn

n

=

n-3

2

，數列是等差數列
∴當且僅當λ=2時，數列是等差數列．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的定義，考查是否存在性問題的探究，考查學生的計算能力，綜合性強．