Question

已知函數f(x)=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）化簡f（x），并求它的周期；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）該函數的圖象經過怎樣的變換可以得到y=sinx（x∈R）的圖象．

Answer 1

分析：（1）逆用兩角和的正弦公式化簡得出f（x）=2sin(

x

2

+

π

3

)．
（2）將

x

2

+

π

3

視為整體，利用正弦函數的單調性求出單調增區間．
（3）逆向思維解決，將由y=sinx（x∈R）的圖象得出y=2sin(

x

2

+

π

3

)圖象的過程逐步逆回即可．

解答：解：（1）f(x)=2(

1

2

sin

x

2

+

3

2

cos

x

2

)=2sin(

x

2

+

π

3

)，
∴T=

2π

1 2

=4π．
（2）由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，k∈Z
∴f(x)的增區間為[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]，k∈Z
（3）將y=2sin(

x

2

+

π

3

)圖象上各點的縱坐標縮小為原來的

1

2

倍，橫坐標不變得到y=sin(

x

2

+

π

3

)的圖象，
再將y=sin(

x

2

+

π

3

)的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的

1

2

倍，縱坐標不變得到 y=sin(x+

π

3

)的圖象，
再將y=sin(x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位得到y=sinx（x∈R）的圖象．

點評：本題考查利用三角函數公式恒等變形轉化能力，三角函數的性質，三角函數圖象的平移變換，周期變換．考查逆向思維的能力．