Question

從裝有n+1個球（其中n個白球，1個黑球）的口袋中任意取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有

C

m n+1

種取法，這

C

m n+1

種取法可分成兩類：一類是取出的m個球全為白球，共有

C

0 1

C

m-1 n

種取法；另一類是取出的m個球有m-1個白球，1個黑球，共有

C

1 1

C

m n

種取法，顯然

C

0 1

C

m n

+

C

1 1

C

m-1 n

=

C

m n+1

，即有等式：

C

m n

+

C

m-1 n

=

C

m n+1

，根據以上思想，類比下列式子：

C

m n

+

C

1 k

C

m-1 n

+

C

2 k

C

m-2 n

+…+

C

k k

C

m-k n

=

C

m n+k

（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）

Answer 1

分析：根據題中分類討論思路，在式子C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，從第一項到最后一項分別表示：從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況取法總數的和，答案應為從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數，根據排列組合公式可得答案．

解答：解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
從第一項到最后一項分別表示：
從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況取法總數的和，
若取出的m個球全為白球，取法有C_n^m種；
若取出的m個球有m-1個白球和1個黑球，取法有C_k¹•C_n^m-1種；
…
若取出的m個球有m-k個白球和k個黑球，取法有C_k^k•C_n^m-k種；
因此它們的和為從裝有n+k球中取出m個球的不同取法種數，即C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=C_n+k^m
故答案為：C_n+k^m

點評：本題給出實際應用問題，求類比推理的化簡結果．著重考查了類比推理和排列組合公式等知識，屬于中檔題．處理本題的關鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項所表示的含義，再結合已知條件進行分析即可給出正確答案．